奇偶数判断优化

一般情况下判断奇偶数都是用

if (0 == a % 2)

但可以优化为：

if (0 == a & 1)

取偶与取奇

有时候需要对一些数进行取偶，那么代码可以优化为：

取偶：a += a&1
取奇：a += 1-(a&1)

如图，左边的是分块矩阵（转置前），右边是分块矩阵转置后。之所以可以这样写，是因为矩阵关于的行数和列数中最大值的对角线进行互换元素。因此对于子矩阵这些个体来说，他们就可以写成右边的形式，但至于右边的形式展开后是否真的就等于左边的转置。其实理解起来也很简单。

首先，对于每个子矩阵来说，他们的转置方式（或性质）都和母矩阵A一样。即，没有一个子矩阵均是关于同一个平行的对角线互换元素。如果把母矩阵中的每个元素抽象成点，由此最外围的点构成的四边形进行折叠，即可得出形为A转置后将元素抽象成点的图像。证明下图中右边的式子就是A的转置。

再看高教版线性代数中的逆矩阵变换的证明，突然看到了一个困惑点实在不知道如何想明白。

如下图红框框部分。如何能够证明，在矩阵两端左乘一个矩阵以后还能保持等号的意义？

如果通过设   Y1=A* AX （均为矩阵）      的方式去证明，似乎能够说明红框框中公式左乘的意义。但那又会不会有不成立的情况呢？

这本线性代数，看到这里时，我又反复回顾前面的一些例证：除了通过推到明确证明的公式或定理外，对于一些用归纳法证明的定理和公式“投机取巧”的成分很大，看来后面看完这本书，要找一本讲的相对清楚的补一下。

在数据结构和数学中，都有着有向图的理论路径计算和迭代。一下是线性代数中对有向图的一个抽象。

可见， 如果需要枚举出某个断点到另一个断点的可能路径的话，那就是对A矩阵进行做幂计算。例如计算1号端点到4号断点4次中转以内的可能路径，那么只需要对A矩阵做四次幂运算（1，2，3，4），然后求和4种幂运算中的a14，即可得到可能的路径数。